Sannolikhet

Jag fick frågan ”Vad är sannolikheten att slå minst en 5:a eller en 6:a på tre tärningskast?” i lördags och det tog ett bra tag att sparka igång det lilla jag kan om sannolikhet och kombinatorik men jag tror jag lyckades resonera mig fram till hur det borde fungera:

Throwing dice CC 3.0 från http://christmasstockimages.com

Throwing dice CC 3.0 från http://christmasstockimages.com

Vad man måste jämföra är antalet kombinationer av utfall med minst en 5:a eller 6:a med totala antalet olika utfall.

Det totala antalet utfall per tärning är 6 och varje utfall på den första tärningen kan kombineras med sex utfall på nästa tärning som i sin tur kombineras med sex resultat från den tredje tärningen. Detta resulterar i att det totala antalet kombinationer är

6 * 6 * 6 = 216

Antalet kombinationer med minst en 5:a eller 6:a är lite klurigare att komma fram till eftersom det kan vara både en, två och tre tärningar som uppfyller kriteriet. För att göra beräkningen lite enklare borde man kunna resonera som så att kombinationer med dessa är det totala antalet kombinationer minus antalet kombinationer utan 5 eller 6. Varför är detta enklare att räkna frågar ni då, och jag är snabb med att svara ”eftersom varje tärning inte får vara 5 eller 6 kommer de ha precis 4 utfall per tärning som uppfyller kriteriet” På samma vis som ovan får vi då att antalet utfall som inte uppfyller kriteriet blir

4 * 4 * 4 = 64

och vidare att antalet utfall med 5 eller 6 blir då

216 – 64 = 152

Detta visar då att ifall man gör 216 kastserier med tre tärningskast i varje kommer i snitt 152 utfall innehålla minst en femma eller sexa vilket skulle innebära en chans på 70.4%

Ifall vi skriver ett par rader python-kod som räknar detta för n-tärningar kan vi se följande

Sannolikhet för n tärningar att visa minst en femma eller sexa

Sannolikhet för n tärningar att visa minst en femma eller sexa

Plottat med GNUplot efter att ha kollat mitt tidigare inlägg hur man gör.  Påpeka gärna missar och fel jag gjort!

Edit: Korrigerat resultatet (beskrivning och avrundningsfel), tack Maria!

Etiketter: , ,

5 svar to “Sannolikhet”

  1. wenner Says:

    Har du spelat w40k igen?
    Jag brukar tänka
    4/6 chans att inte få 5 el 6
    4^n/6^n chans för att få inte 5 el 6 på n antal tärningar
    Så 64/216 el 8/27 som brukar kalla det. Så 19/27 för att lyckas.

  2. akeinexile Says:

    Det är nog det som är grunden till detta, det är han jag brukar spela med/mot som ställde frågan. Ditt tankesätt är mycket vettigt, den beräkningen borde man kunna göra (åtminstone ungefärligt) i huvudet.

  3. Mikael Sjöberg Says:

    Nu väntar vi bara på att du testar detta på det som vi dödliga kallar ”verkligheten” för att verifiera resultatet av uträkningen.

  4. mia Says:

    Jag räknar som wenner, har för mig att jag fått lära mig att göra så. 1 – (4/6)^3 = 0,704 (ja, avrundat då.)

    Förresten… ”Detta visar då att när man kastar tre tärningar 216 gånger kommer minst en av tärningarna visa en 5:a eller en 6:a 152 gånger vilket skulle innebära en chans på 70.3%.” Du skulle väl kasta en tärning tre gånger, inte tre tärningar 216 gånger? Förstår vad du menar, men bara för att vara petig. Det blir ju inte heller exakt 152 gånger om man faktiskt kastar tärningarna 216 gånger. Åtminstone lär den sannolikheten inte vara så hög. (Orkar inte räkna…) Det blir ju som att säga att om man kastar en tärning 6 gånger så kommer man att få en sexa exakt en av gångerna.

  5. akeinexile Says:

    Att kasta en tärning tre gånger och tre tärningar en gång resulterar i detsamma och det var krångligare att skriva ”ifall man gör 216 kastserier med tre tärningskast i varje kommer i snitt 152 utfall innehålla minst en femma eller sexa”. Men jag korrigerar när jag åter sitter vid en dator där jag kan göra det.

    Jag beklagar avrundningsfelet, vilket är smått oförlåtligt!

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut / Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut / Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut / Ändra )

Google+ photo

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut / Ändra )

Ansluter till %s


%d bloggare gillar detta: